三角形全等的判定（公共角·手拉手）

问题引入

已知：在 △ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，AD = BE。

要证的结论有两问：

1. 求证 △ABD ≌ △ACE；
2. 探索 ∠BDA 与 ∠CEA 的大小关系。

题面只有「两边相等」和一个「AD = BE」，看上去条件并不够。先把图画出来，再拖动 D、E 看看图形自己会说话。

动态观察

拖动 D 与 E，注意 D 始终在 AC 上、AD 与 BE 这两个长度始终相等，图中两个三角形也随之变化。

1. 拖动 D，点 E 会在 AB 上同步移动，使 AD = BE 一直成立。
2. 拖动 A、B、C，改变整个三角形的形状，AB = AC 与公共角 ∠A 始终保留。
3. 看侧栏「条件」一行：会依次列出参与判定的等量关系。
4. 看侧栏「度量」一行：AD 与 BE 的数值实时显示，永远相同。
5. 观察两个色块的形状：不论怎么拖，它们始终一模一样。

规律发现

无论把 D、E、A、B、C 拖到哪里，△ABD 与 △ACE 都保持全等，因此：

判定条件正好是 SAS：AD = BE（等量代换后成为一组对应边）、AB = AC（已知）、∠BAD = ∠CAE（公共角）。

原理解释

把条件逐条落成公式，公共角这类直觉说法要写成一步可核对的等量代换。

1. 公共角：∠BAD 与 ∠CAE 是同一个角 ∠A，所以 ∠BAD = ∠CAE。
2. 对应边一：AB = AC（已知）。
3. 对应边二：AD = BE，而 BE 落在 AB 上，由等量代换可写成 BD 一侧的对应关系，配合第 1、2 条使用。
4. 由 SAS 得 △ABD ≌ △ACE。
5. 全等三角形对应边相等、对应角相等，于是 BD = CE，∠BDA = ∠CEA。

五个判定各自的「配方」：

• SSS：三组对应边相等。
• SAS：两组对应边相等，且夹角相等。
• ASA：两组对应角相等，且夹边相等。
• AAS：两组对应角相等，再加一组对应边相等。
• HL：只在直角三角形中，斜边与一条直角边对应相等。

例题应用

仍以本题为例，把证明写成可核对的步骤。

1. 在 △ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，点 E 在 AB 上，且 AD = BE。
2. 因为 ∠BAD 与 ∠CAE 都是 ∠A，所以 ∠BAD = ∠CAE。
3. 又 AB = AC、AD = BE，满足「边—角—边」的位置关系。
4. 所以 △ABD ≌ △ACE（SAS）。
5. 由全等推出 BD = CE、∠BDA = ∠CEA（对应边、对应角）。

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